偏序关系​

偏序关系 ​若 R 是自反的、反对称的、传递的，则称 R 是偏序关系。记作 ≼。 设 ≼ 是一个偏序关系，若 ∈≼，则称 x 小于等于 y，记作 x≼y。

偏序关系的性质 ​设 R 是 A 上的偏序关系

∀x,y∈A,x≺y⇔x≼y∧x≠y∀x,y∈A,x与y可比⇔x≼y∨y≼x若 ∀x,y∈A,x与y可比，则称 R 是全序关系实例：数集上的小于或等于关系是全序关系，整除关系不是正整数集合上的全序关系若 x≺y∧¬∃z(x≺z≺y)，则称 y 覆盖 x偏序集 ​集合 A 与其上的偏序关系 ≼ 称为偏序集，记作 ⟨A,≼⟩ 如：⟨Z,≤⟩，,⟨N,|⟩

哈斯图 ​在 ⟨A,≼⟩ ，若 y 覆盖 x，则 y 在哈斯图中位于 x 的上方，且用一条从 x 指向 y 的有向边表示。（绘制时忽略箭头）

哈斯图是简化的关系图，是由偏序关系的性质而省略的：

自反性：每个顶点都有自环，故省略自环。反对称性：从小到大的有向边只有一条，故省略箭头。传递性：,∈R⇒∈R，故省略 ⟨a,c⟩ 的有向边。特殊元素 ​最大元、最小元、极大元、极小元 ​设 ⟨A,≼⟩ 是一个偏序集， B⊆A，y∈B，则

最大元：若 ∀x(x∈B→x≼y)，则称 y 是 B 的最大元最小元：若 ∀x(x∈B→y≼x)，则称 y 是 B 的最小元极大元：若 ∀x(x∈B→(y≼x→x=y))，则称 y 是 B 的极大元极小元：若 ∀x(x∈B→(x≼y→x=y))，则称 y 是 B 的极小元最大元和极小元要求集合中所有元素与其有偏序关系 极大元和极小元仅要求没有比它更大或更小的元素。

最大元和最小元不一定存在，但若存在则唯一。 极大元和极小元一定存在，但不一定唯一。

最大元一定是极大元，最小元一定是极小元。

上界、下界、上确界、下确界 ​设 ⟨A,≼⟩ 是一个偏序集，B⊆A，y∈A，则

上界：若 ∀x(x∈B→x≼y)，则称 y 是 B 的上界下界：若 ∀x(x∈B→y≼x)，则称 y 是 B 的下界上确界：若 C={y | y 是 B 的上界}，则 C 的最小元称为 B 的上确界或最小上界，记作 supB下确界：若 C={y | y 是 B 的下界}，则 C 的最大元称为 B 的下确界或最大下界，记作 infB上下界与最大最小元的区别在于，上下界是在整个偏序集中寻找，而最大最小元是在指定的子集中寻找。

上界和下界不一定存在，若存在也不一定唯一。 上确界和下确界不一定存在，若存在一定唯一。

一个集合的最小元是它的下确界，最大元是它的上确界。反之不一定成立。